这个想法，其实在六年前就有了
大概六年前，读高二的时候，我就经常在想一件事：我做了这么多笔记，整理了这么多题目，能不能有一种办法，把它们组织得更好一点？
比如，把一些看起来不太一样、实际上却有共同思路的题目放在一起，打上标签；再顺着这些联系，看看它们还能往哪里延伸。
当时，成都七中有很多很厉害的老师。我常在自己钻研过一些问题之后，拿去向其中几位请教：这几道题是不是有什么共同点？这个结论能不能推广？换一个条件，还能不能这样做？
现在回想起来，那种交流带给我的帮助很大。自己先想一遍，再听老师点拨几句，有时之前散落在不同地方的知识，一下子就接起来了。你能很具体地感觉到，自己看问题的角度正在发生变化。
不过，他们不一定是直接教我的老师，也没有义务随时回答我的问题。愿意花时间跟我讨论，是出于好心。自己偶尔问一问当然没什么，可如果每天都有新问题，总不能跑到食堂堵着老师，不让人家吃饭吧。
于是，当时的我就有了一个挺朴素的愿望：以后能不能出现一种机器人，一方面替我整理笔记，把相似的问题和思路联系起来；另一方面，又像一个知识丰富、愿意耐心讨论的老师，能够回答我的问题，还能带着我往前多走几步？
当然，那时候想象里的机器人，多少有些无所不知、无所不能。现在自己开始做软件，才知道这里面每一件看起来理所当然的事情，都不太容易。
在等到这样的机器人之前，我先尝试了错题打印机。
手抄题目太费时间，打印似乎能省不少事。但纸张和耗材要花钱，打印下来以后，还得剪贴、整理，再把解答和自己的理解写上去。机器替我省掉了一部分抄题的劳动，后面该忙的，一样没少。
到了高三下学期，我还借过同学一台 B 厂的错题机，也借了他的手机。本来是想提高学习效率，结果大半个晚自习都拿来偷偷耍手机了。现在讲起来有些好笑，但当时确实控制不住自己。
这件事也让我记住了一个问题：有些学习工具，看起来是在帮你，实际使用时却可能引入新的麻烦。而整理错题本身，又是一件很难立刻得到回报的事情。你忙了半天，纸贴好了，字写满了，但自己到底理解了多少，下一次能不能做出来，还没有答案。
比起整理本身，我真正感兴趣的是后面的事：发现一个现象，想知道为什么；弄明白以后，又联想到另一个问题；再顺着这个问题，去认识更多原来不知道的东西。
后来，AI 让我看见了一点这种可能。
尤其是谷歌推出 Gemini 3 Pro 之后，我有一阵子很喜欢跟它摆龙门阵。从小时候的经历，聊到眼下遇到的问题，再聊到一些原本完全不熟悉的知识。那段时间，我甚至连游戏都打得少了。对我来说，它当时的回答很有灵气，经常能把一个随口提出的问题，带到一个挺有意思的地方。
这让我重新想起高中时的愿望：如果学习也能经常带来这样的体验，会怎么样？
你提出一个问题，得到及时的回应；你刚理解一个概念，又发现它能解释另一个现象；原来觉得混乱的东西，逐渐在脑子里有了秩序。这样的反馈，对我来说是很有吸引力的。
我不觉得学习可以因此完全没有困难。该自己推的式子、该做的练习、该经历的困惑，还是绕不过去。但那些和理解没有太大关系的整理劳动，能不能少一点？那些本来已经出现、却因为找不到人讨论而中断的好奇心，能不能被接住？
我做 Notara，最早就是想解决这些事情。
至于生源、天分这些大家经常讨论的问题，我更愿意先把注意力放在另一边：一个已经坐在教室里的学生，他还有多少潜力没有被用出来？有没有可能，他并非缺少理解问题的能力，只是一直没找到合适的方法，也没有在学习中得到足够清晰的反馈？
至少对我来说，这是一个值得认真做下去的问题。
再往前说：初中那几年
读初中的时候，我在县城最好的初中一直名列前茅，三年里超过一半的考试拿了年级第一。课内知识对我没什么难度，考前轻轻复习一下就能考得不错。我本以为可以一直待在这个舒适区，但我父亲不这么想。他送了我一本《数学培优新方法》，又买了一套学而思的初中数学竞赛网课。从那以后，我打开了一个新的世界。
一开始我很抗拒这些课外的东西。老爹要求我每周拿出一个周六，专门做《培优新方法》上的题，不会的就去看网课里相关的内容。这件事一开始几乎没有正反馈：课内知识我烂熟于心，可一碰到竞赛题和超纲内容，大脑的 CPU 得超载才能勉强摸到一点门道。
让我印象很深的是，《培优新方法》上常有一些出处很吓人的题，比如“华约”的自主招生题，或者某个国家的数学奥林匹克题。（这已经是时代的眼泪了：华约、北约、卓越这几个联考 2015 年就取消了，2020 年起自主招生整体停办，换成了强基计划。现在的小登们，大概只能在强基培训里见到这些题了。）
黄东坡老师选这些题肯定是有用意的，它们大多是前面例题的拓展或变式。真正参透了例题，往前走一步两步，就能找到破解的办法，绝不是故意刁难学生。题目的出处只是个噱头，就像一个人给自己起名叫大黄蜂，他也没法因此变成汽车人。可惜我当时真会被出处吓到，俗称着了相。作为外行来指导我的老爹也一样，一看见这些题就说：“哎呀，这些不是你现在该做的。”现在说起来很好笑，但这只是我当时认知局限的一部分，之后还有更让人难绷的。
我一直很感谢老爹。他很有远见，能及时督促我去开拓思维。但他毕竟是外行（这么说绝无贬义），我自己也不太懂，只能靠互联网上真假难辨的只言片语，自己琢磨学习的方向和方法。这就是信息差：省会的同龄人早就接触到了完整的奥林匹克竞赛体系，我还在泥地里摔跤。听起来很残酷。Notara 里的路线规划，灵感就来自这段经历：老师陪你把要学的内容分成阶段、标出先修，学着学着发现不合适，就改后面还没上的课。
当时我陷进了一个错误的学习方式：我和老爹都以为，题看得足够多，视频刷得足够快，知识就能内化下来。事实并非如此。印象里，初一升初二的暑假，我就“学完”了初中数学的全部内容，还有初中物理的力学部分。可表面上学完，不等于真正掌握。
那个暑假我被带到父亲的单位，在一间空办公室里刷网课。我玩心很大，并不想高强度地学，看着看着就走神，只想快点看完去打会儿游戏。学习质量可想而知。举个例子：你问我垂径定理是什么，我当然知道；可你给我一道还算简单的题，我连圆心和弦的中点可以连起来都不会主动想到，只会盯着图发呆。整个暑假，就在我一片片黏黏糊糊地堆豆腐渣工程中过去了。
真正的转折，是我加入了一个神奇的、专门分享资料的 QQ 群。在那之前我一直圈地自萌，自己学成什么样无所谓，只要唯一管我学习的老爹觉得我学得很好就够了。进群以后，我第一次感受到来自同龄人的压力。群里有一些非常优秀的学长和同龄人，后来大多考上了很好的大学。他们给了我压力，也逼着我反思：如果只是一味刷课而不去理解，最后和没学过又有什么区别？
我开始给自己出练习题。把网上的平面几何题用尺规作图抄下来，想完、做完以后，每天晚上洗脚的时候再盯着图看。这确实有用，我的辅助线技巧每天都在一点点进步。到后来，我已经能完整做出一道初中联赛级别的几何题：从图形里找方向，试了一次又一次，最后完成证明。Notara 的间隔复习和白板上的小练习，就是从这段经历来的：隔几天再看一次，每次只盯最关键的那一步；需要练习时，出题员会按你的情况出变式。
很少有人天生就对抽象的几何图形和代数符号有感觉，有的话，那也是四个标准差之外的天才。那时我已经意识到自己不是什么天才，得找到适合自己的思考方向。
常有人问：AI 已经能做很多人做不到的思考，人还有什么用？我的一个回答是“思考方向”。开发 Notara 的时候，我常常发现模型给的方案不如我的直觉好。至少到现在，在找方向这件事上，我还没被它比下去。所以培养直觉和方向感是一件很重要的事。
第一本数学笔记本
那段时间，我印象最深的是正方形里的“半角模型”。今天看来它简单得像吃饭喝水，但当时确实给了我很大的启发，让我第一次明白旋转、构造全等三角形是为了什么。
例题：正方形里的半角模型
题目是这样的：正方形 中，点 在 上，点 在 上，。证明 。
难处在于， 和 分在正方形的两条边上，怎么也凑不到一起。可以从两个方向想。
一个方向看角。 被 分开，剩下的 和 加起来也是 ，只是散在两边。要是能把这两块拼到一起，就能和 比一比。
另一个方向看边。 和 一样长，又共用顶点 、夹着直角。把 绕 转 ， 正好落在 上， 落到 延长线上的 。
这两个方向其实是同一步。转过去以后，。再加上 、 公用，，所以 。原本散在两边的线段和角，一次旋转就都拼到了一起。
后来我进了计算机学院，回头再看，这大概就是在问题空间里做搜索吧：每添一条辅助线、转一个三角形，就是往下走一步；走不通，就退回来换一条路。直觉的作用，是告诉你先试哪一条。原来有了足够的直觉和知识储备，是一件这么爽的事：共顶点的两条等长线段、被拆开的一个直角，这些蛛丝马迹都在给你指方向。
也是这些平面几何的练习，让我的数学学习第一次有了真正的正反馈。以前我做题要么秒杀，要么做不出来；这一次，我总算能靠痛苦的搜索和枚举、联想和演绎，一点点把一道题拆开。
这有点像唱歌里的换声点：卡在那儿的时候怎么唱都别扭，我自己到现在也还没磨好。也许做什么事都有这样一个瓶颈，突破了，任督二脉就通了。
有了方便复习的几何卡片，我就想：既然已经做了这么一个形式主义的东西，为什么不变本加厉一点？于是我有了第一本数学笔记本，慢慢在上面写我对题目的看法，把同一类题整理到一起。到初三的时候，笔记本上已经装了很多题。
人的精力槽毕竟有限。整理得多了，有时候也会为了把笔记本填满而去填满它。但开卷有益，抄下来总会有收获，至少比光看强；加上自己的思考，巩固得就更明显。
我印象最深的，是自己总结出的一套一元二次方程整数根问题的变形方法。
例题：一元二次方程的整数根
这类题一般长这样：方程的系数里带着参数，要求方程的根都是整数，问参数能取哪些值。我当时攒下了三种办法。
判别式法。根要是整数，判别式先得是完全平方数。比如求整数 ，使 的两根都是整数。设 （ 为非负整数），配方得 ，也就是 。这两个因数奇偶相同，只能都是 或都是 ，于是 ， 或 。
韦达定理加因式分解。还是这道题：，。两式相减消掉 ，得 ，两边加 ，就能分解成 。两个整数乘积为 ，只能同为 或同为 ，两根是 或 ，同样得到 或 。
再换一道：已知 ，求 的整数根。由韦达定理，，两边加 得 。 是质数，两根只能是 和 ，或者 和 。
靠正整数有下界来枚举。两根都是正整数时，先设 ，再用题目里的条件给 定一个上界。比如两根满足 ：由 得 ，所以 ；又 ，所以 。一上一下夹住，只剩 和 两种。
当时把这些写进笔记本，真的很有成就感。
我想把这种成就感也带进 Notara。课上，老师把这节课的要点一块块写上白板；同一类题会挂在同一个专题下；到了复习课，由你自己把学过的东西搭成一个结构，再拿它去攻一道新题，攻不动的地方退回去补。整理的活儿可以交给它，搭结构这一步留给你自己。
顺便一提，LLM 真是个好东西。上面这些题，很多具体怎么写的我已经记不清了。我把记得的几个关键词丢给 AI，它帮我把这些经典题型重新写了出来，还顺手给了变式。我越来越觉得，你们赶上了一个好时代。当年我想弄明白这些东西，得去逛书店、找电子书和网课，甚至去贴吧发帖提问。现在借助 AI，几分钟就能找到我们当年要花半天才能找到的东西。找到以后，还是得自己想明白，这一点倒是没变。
七中的同学们
后来我顺利考上了成都七中（其实差点翻车），遇到了很多比资料群里更厉害的同龄人。他们中不少人后来学了学科竞赛，进了国家集训队，甚至国家队。
当时我很疑惑：我和他们之间，是不是智力上就有差距？和他们一起上课，我的反应确实会慢半拍。可这到底是因为他们基础本来就比我好，还是因为他们比我聪明太多，已经分不清了。我想两者都有。
这也算回答了我在第一节最后提的问题：聪明不是生下来就定死的，它需要一直复习、一直维持。我也见过一些初中时很优秀的同学，高考分数并不尽如人意。
我们学习，其实不是为了证明自己比谁聪明、比谁努力，甚至也不是为了证明自己能考多少分，而是为了形成自己的思维习惯，或者说看问题的方法。这也是我做 Notara 这个小软件的目的：提分是其次的，我更想借大模型广阔的知识面和推理能力，帮学生把自己的思考能力练出来。
把物理当成二次函数
高中能讲的事其实还蛮多，最典型的，是我把初中那套学习方法又重新发明了一遍。为什么是“重新发明”？这和我的思维惰性有关。我们接着往下看。
刚上高中时，我在选拔竞赛生的拔尖创新人才夏令营里被各路大神打击得不轻。可回家真正开始预习高中内容，又觉得事情没那么悲观（后来证明我太乐观了）。高中课内的知识我都掌握得很快，尤其是物理的运动学：还原回去，不就是数学里的二次函数嘛。我三下五除二就把它搞定了。
第一次月考就给我敲了警钟。数学其实考得很好：有一道浙江的高考题，分母是个根式函数，先讨论单调区间，再求值域，全班只有我和另一个很强的同学拿了满分。物理却出乎我的意料，最直观的感受就是：做不完。
直到高三复盘，我才想明白。匀变速直线运动的数学模型确实是二次函数，这不假。可如果学二次函数时留意过差分，就会知道：等间隔取值，相邻两个差的差是常数。放到物理里，这就是 。解方程时你也知道设而不求，用不着的量就别去解它。放到物理里，就该用 把时间消掉。可我偏偏不用，非要把参数一个个硬解出来。
这是一种幼稚的还原论。要是当时有现在前沿的 AI 模型，我相信自己能很快发现这个误区，可它偏偏在我脑子里挥之不去。人天生就爱把事情粗暴地简单化，这是一种认知上的懒惰。
我不光在物理上这么想，化学也一样。结果到了期中考试，最擅长的数学居然没做完，化学更是考得一塌糊涂。当时我想：不对啊，配平方程式连二次方程都用不上，列个一次方程组就行了。高三的我又要出来骂人了：你解方程组都知道设而不求，到了化学怎么就不知道了？氧化还原方程用得失电子守恒很快就能配平，何必把每个系数都设出来硬解？更要命的是，我过分忽视了化学是一门实验学科，很多实验题的填空错得离谱，完全是凭空想象。
这时我才意识到，自己又一次走上了错误的路，就像初中那样。
宣纸、网课和一个寒假
为了应付这场全面的学习危机，我重新拾起了记笔记，还开始熬大夜。现在想起来很滑稽：我买了很多宣纸，在宣纸上记笔记，上课时同学和老师看见了，还以为我在搞行为艺术。更让人忍俊不禁的是，百乐的走珠笔在宣纸上写字效果太好了，我有点沉迷于做手帐，反而忽略了对知识的理解和整理。
我曾经很想把学过的元素化学整理一遍，也背了不少化学方程式，可总觉得这些东西不成体系。问题不在于课本上的知识没记住，而是缺一个能把它们串起来的锚点。期末考试仍然不理想。熬夜其实会降低我的效率，而我记笔记的方式，更像是一种精神胜利。
寒假回家，我彻底没招了，于是打开电脑，开始学郑瑞老师的化学网课。让我惊叹的是，化学原来可以这么有逻辑地推出来。比如讲硫和氮，他抓的是化合价：处在最高价，只能被还原，表现氧化性；处在最低价，只能被氧化，表现还原性；处在中间价，两样都有。浓硫酸为什么是强氧化剂，二氧化硫为什么既能被氧化又能被还原，氨为什么有还原性，一下子都有了统一的解释。他还会主动用问题引着我们往下想。当时我还不知道，这就是苏格拉底式的教学，现在它是 Notara 默认的教法。
不过那时最困惑我的一个问题，网课里没讲，我也没找到人问：水溶液里 −2 价的硫，能不能直接被氧化成 +6 价？课本上的硫总是一格一格地跳，−2、0、+4、+6，像在爬楼梯。能不能一步跨上去？这个问题在我脑子里挂了很久。
直到最近我把它丢给 LLM 大人，才发现这个问题比我想的有意思得多。答案是能，但“化合价能不能一步跳过去”和“反应是不是一步完成”是两回事。化合价是记账用的，不是反应走的路。顺着这个问题往下问，硫和氮的一大堆元素化学，突然就串起来了。
延伸：硫从 −2 价到 +6 价
账上没问题。把硫化物和次氯酸根写成总反应：。硫从 到 失去 8 个电子，4 个次氯酸根里的氯从 到 ，各得 2 个，账是平的。
路上不是一步。真实体系里，硫一般不会“啪”一下直接变成硫酸根，中间可能出现单质硫、硫代硫酸根、亚硫酸根这些物种，走哪条路要看氧化剂、pH、浓度和温度。氧化剂弱一点或者不够，常常停在单质硫；氧化剂够强、够多，才一路走到硫酸根。
还有一个坑。普通水溶液里其实没有多少裸的 ，它会水解：。除非溶液很碱，真正去反应的多是 ；到了酸性条件下，就主要是 了。
顺着问氮。氮比硫还适合问这种问题。
- 价的氮能不能一路氧化到 ？账上可以， 变成 也是失去 8 个电子；可土壤里的硝化作用，要先经过羟胺、亚硝酸根。
- 反过来也行：。极稀的硝酸和锌反应，就能生成硝酸铵。
- 和 放在一起，一个 价、一个 价，会一起变成 价的氮气：。同一种元素的两个价态，互相把对方拉到中间，这叫归中。
为什么 那么容易歧化？课本的答案是“ 是中间价态”。可中间价态多了去了，为什么偏偏是它？可以拆成三层看。
- 两边都有好去处。在碱里，， 和 在水里都有稳定的承载物种；在水里，， 是气体，跑掉以后平衡继续往右。
- 热力学上站得高。把各价态画成 Frost 图，一个价态的点如果落在两边相邻价态连线的上方，它就倾向于歧化。
- 分子本身不安分。 是奇电子分子，很活泼，还会二聚成 ，反应的路不难走。
所以“中间价态容易歧化”只能算一句口诀。更接近本质的说法是：这个价态比两边的稳定物种能量高，而且有一条好走的反应路径。
大模型的知识面比任何一个高中生都广，它能在复习时帮你把看起来不相干的知识理出来，钉到一个更高的节点上。Notara 里的头脑风暴和体系梳理就是做这个的：一个负责放出去，一个负责收回来。这就是发散和总结的对立统一。
一个寒假恶补下来，我对化学真正有了兴趣，做数学题的感觉也找回来了。数学靠的是每天定时练习保持手感，特别是计算能力的训练，让我整个高中都受益匪浅。只是每天自己找题很麻烦，题库攒大了又做不完，得挑高质量的做。现在 Notara 的首页每天会列出到期要复习的卡片；想多练几道，也可以请老师按你的目标从题库里挑。
随着信心建立起来，我的成绩越来越好，也抛弃了行为艺术的宣纸，换成了正儿八经的笔记本。每次上课都在笔记本上抄写，尤其是化学课和生物课，下课时能记住九成以上，顺手把作业做了，知识就掌握得更稳。只不过那时的笔记，还是以原汁原味记录老师上课说的话为主，没什么自己的理解和整理。
顺带一个用 Notara 的小建议：模型生成回答和板书需要一点时间，这段时间可以在纸上跟着抄一抄，理解会更牢。
过拟合
中间出过一次小插曲，算是一场不大不小的滑铁卢。高二上学期，我非常沉迷刷题。其实那时认知上已经有点麻痹了：题刷得越多，就越过拟合，越想用刷题的经验去解决问题。这又是一次认识没能及时往上走的过程。
当时唯一的办法是问老师，但问老师只是有概率得到一个 idea。老师要面对一整个班，看到我抱着一摞题来问，也很难一下子看出这些题能提炼出什么，只能泛泛地说我做题太毛躁。要是那时能问大模型，也许我就能弄清楚这些题到底给了我什么启示，在那些表面上做对的题下面，还藏着多少我不懂的东西。
第三次月考的题出得很对我胃口，都是我平时刷的那种风格，我考得非常好。期末调研考试难度不如月考，强调的是回归课堂基础。我已经忘了当时是怎么考的，只记得排名大约是第三次月考的十倍。
那段时间刚好是疫情，我陷入了很深的迷茫，每天在家郁郁寡欢，靠大量做题来安抚自己被不可知论装满的内心。现在想起来，这对一个十七岁左右的年轻人挺残酷的。考试和做题也许就是一个高中生的全部，你把他打倒在地，却不告诉他原因，逼着他认输，这太阴险了。所以在 Notara 里，老师每次判你这道题做没做出来，都得写清关键的是哪一步。
语文，和一个关于标签的梦
疫情告一段落，回到学校，我开始借其他同学的笔记来巩固基础，死马当活马医。趁着其他科目停滞，我钻研起了语文。这是一片富饶的瀚海，钻研文言文和阅读的那段日子，是我高中最快乐的时光之一。读到的很多人物传记，都让我忍不住借同学的手机去搜：这个人后来还做了什么？然而放在今天，这些历史上大人物的生平，只不过是 LLM 大人带领渺小的碳基蝼蚁阅读他们祖先的著作之后，顺手一提的事情罢了。
在这个过程中，我试着把已有的知识归类，比如文言实词和虚词，又去体会古诗词和古文的文风，慢慢能读懂一些言下之意了。这让我相信，文字表面之下，也许还有一层更高的东西。后来读本科时，我认识了一位学汉语言的朋友，他告诉我，不同朝代的文风确实很不一样。我还了解到，《元史》和《宋史》都修得挺仓促。
《宋史》是元朝末年修的，两年半就写完了四百九十六卷，是二十四史里最厚的一部，而接替脱脱当都总裁的阿鲁图，还不认识汉字。书里有一人两传的，李熙靖就有两篇传；记北宋详细，记南宋潦草，《循吏传》里一个南宋人都没有。
《元史》更快。明初两次开馆，前后只用了三百三十一天。清朝的钱大昕评价它：“古今史成之速，未有如《元史》者；而文之陋劣，亦无如《元史》者。”速不台和雪不台其实是同一个人，书里给他立了两篇传；同一个蒙古名字 Temür，书里能写成帖木儿、铁木儿、帖睦迩、帖穆尔，偏偏元朝叫这个名字的人又特别多，燕帖木儿、察罕帖木儿、扩廓帖木儿……古人随便一马虎，我就得在无数个帖木儿里找出正确的那个帖木儿。所以读史书也得先问一句：这段话是谁、在什么时候、照着什么写的？
其他学科，这个阶段做的事也差不多。我自己买了一台 Y 厂的错题机，开始用错题集和小猿搜题整理习题集。突然有一天我发现，很多题目都有一些要点，比如物理思维、代数结构，这些要点之间也许有某种相似性。我能不能给题目打上标签，存进电脑，再像搜索引擎一样按标签搜？这样就能想起很早以前做过的题。恭喜我发现了 embedding！好吧，其实只是标签检索，离 embedding 还差得远。
标签最妙的地方，是能把一些风马牛不相及的东西连起来。现在回头举个例子：有一道高考压轴题，矩形 有三个顶点在抛物线 上，求证它的周长大于 。表面上看，这是一道圆锥曲线题；拆开一看，真正起作用的是主元法和绝对值不等式。给它打上这两个标签，它就和高一常见的一类拓展题挂到了一起：已知二次函数在 上的绝对值不超过 1，求系数的范围。一个在高三的圆锥曲线里，一个在高一的二次函数里，隔着两年的课本，用的却是同一把刀。（首页那段示例对话，讲的也是这道矩形题。）
例题：抛物线上的矩形，和二次函数的系数
抛物线上的矩形。整道题的钥匙是一条性质：抛物线 上横坐标为 、 的两点，连线的斜率是 。设直角顶点 的横坐标为 ， 的斜率为 ，那么 的斜率是 。竖直的直线和抛物线只交于一点，所以两条边都不竖直；把图左右翻过来，或者交换 、，总能做到 。于是 的横坐标是 ， 的横坐标是 ，
式子里有两个变量。先把 当成常数，只盯着 ，这就是主元法。 藏在两个绝对值里，系数一个是 、一个是 ，加起来正好抵消。因为 ，
剩下的是一个只含 的函数。令 ，由均值不等式 ，得 ，也就是 ，周长至少是 。
等号要 ，第一个不等号还要 。可这时 ， 和 重合，矩形不存在。所以周长严格大于 。
二次函数的系数。这类题我记不清原题了，按记忆编一道：已知 ，当 时 ，求证 ，，。
直接盯着 、、 很难下手，因为条件给的是函数值。那就换主元：不看系数，改看 、、 这三个函数值，它们的绝对值都不超过 1。反过来把系数用它们表示：
再用一次绝对值不等式：，。这几个界都取得到，比如 就让 。
还能再往前问一步： 在 上最大能有多大？一次函数只要看两个端点，而 ，，所以 。
挂在一起的地方。两道题都是先选对主元：矩形题先固定 、盯住 ；二次函数题干脆把主元从系数换成函数值。然后都是把要估计的量，写成几个已经知道大小的量的组合，用绝对值不等式一把收住。两张卡都打上“主元法”和“绝对值不等式”，它们就连上了。
可惜当时我对电脑几乎一窍不通，除了打游戏。如今 Notara 的题卡都带标签，同类题挂在同一个专题下，找卡片时老师会按你的意思去检索，也算是六年之后圆了我一个梦吧。
高三：差的那一脚
到了高三，前面说的很多东西都一再得到证实，它们确实是痛点和难点。
导数里有一类很难的题，要“找点”。比如要证明函数有零点，光知道它先减后增还不够，还得亲手找出一个函数值为正的点。这其实就是数学分析里给定 去找 （或者 ）的那件事。办法常常是把超越函数放缩成多项式，比如用 、，点就能算出来。要是当时我知道这些，理解问题的本质会轻松得多，可我就差这临门一脚。
物理也一样。我一直在碰到一些神奇的模型，比如导轨上的杆接一个电容，受恒力拉动，算下来它竟然是匀加速：电容器上的电压 ，电流 ，于是 ，。这些背后都是微积分，高中只能用微元法绕过去。可我没有去系统地学微积分，因为对初学者来说，自己蹚出一条系统学习的路本身就很难。要得到靠谱的建议，得有贵人相助：要么是花钱请的贵人，六百块钱一小时的家教；要么是人情上的贵人，可你总不好天天去麻烦自己的老师，更别说别班的老师了。
化学的工艺流程题也是这样。里面很多是化工生产中常见的操作，比如钴酸锂电池的相关工艺，高中化学已经把这些生产模型简化到不行了。我就自己总结流程里的物理操作：这里加热有什么用，那里鼓风有什么用……偶尔去听优秀老师的讲座，比如 f 老师，让我受益匪浅。班上有同学去听了 z 老师的讲座，z 老师英俊潇洒，出题别具一格，常常出到很本质的地方，让人拍案叫绝，可惜能答出来的学生不多。也许有了大模型，学生就能找到更高、更本质的视角去看问题了。
到了高三后期，限制我的主要因素，已经从熟练度变成了知识的深度和广度。我从未如此渴望在知识的海洋里遨游。
然后我就毕业了。
最后卡住我的，是问问题
回头看这一路，卡住我的东西一直在变。
初中的时候，缺的是知识从哪来：不知道看什么书，不知道省会的同龄人在学什么，只能在泥地里摔跤。后来缺的是怎么组织：题做了一大堆，方程式背了一大堆，就是不知道哪些该归到一起。再后来缺的是怎么调用：垂径定理明明会背，看着图却想不到连圆心和弦的中点；复习和总结的道理明明懂，换一个学科，又掉回刷课、刷题的坑里。
这些慢慢解决以后，卡住上限的，变成了一件很隐蔽的事：我能不能意识到，这里还有一个问题值得问？
高三后期我说，限制我的是知识的深度和广度。现在想来，准确点说也不全是知识不够广。知道自己缺哪块，问题就解决了一半；最难的是不知道该往哪里挖。不知道答案，你是有感觉的；不知道这里还有问题，通常一点感觉都没有。当年要是我根本没冒出“−2 价的硫能不能一步跳到 +6”这个念头，后面的水解、反应路径、热力学、动力学，一个都不会出现。老师把标准答案告诉我，我可能还觉得自己学会了。
后来我琢磨，问题大概可以分三层。第一层是事实：这个反应能不能发生？第二层是机制：为什么能发生，真实的路径是什么？第三层是模型：有没有一个更一般的框架，能把这一类现象一起解释了？问到第三层，一个问题就开始滚复利了。弄懂了 为什么容易歧化，以后看到氯气、过氧化氢、亚硝酸、锰酸根，都会下意识地问：这个价态在这种环境里稳不稳？两边的价态是什么？热力学允不允许？动力学走不走得动？有没有产物跑掉或者沉淀下来，把平衡拉走？
所以会提问，不是会说“请深入分析一下 ”这种形式上很开放的话，而是能看出现成的解释在哪里裂了缝。老师说“中间价态既有氧化性又有还原性”，普通的反应是“好，记住了”；有价值的反应是：“那为什么有的中间价态特别容易歧化，有的却能稳稳地待着？就因为它在中间吗？”这个问题一出来，口诀就不够用了。
这也回答了我前面说的“贵人”到底贵在哪里。好老师不一定是因为他知道某道题怎么做，而是他看见你卡住的时候，会突然告诉你：“你这里碰到的其实是微积分里的一个思想。”“你背的是元素性质，该看的是价态之间的关系。”他替你走完了最贵的那一步：把一种说不清的别扭，变成一个可以接着研究的问题。
现在每个人手里都有一个几乎无所不知的大模型，可两个人拿着同一个模型，用出来的可能完全不是同一种工具。一个人只会问“帮我总结一下这一章”；另一个人从“ 能不能变成 ”一路问到“化合价到底能在多大程度上预测真实的化学行为”。
所以我希望 Notara 做的，不只是替学生回答更多问题，而是慢慢把学生提出好问题的能力练出来。一开始，老师常会在你答对以后再追一句：这里有没有藏着一个假设？能想到反例吗？条件换了还成立吗？白板上每一块也都有“追问这块”，想到什么随时可以接着问。等到有一天，你看到“中间价态容易歧化”这句话，脑子里自己就冒出来：“凭什么？所有中间价态都这样吗？”到那时候，Notara 才算真的教会了你一点东西。
尾声
最开始，我缺的是答案；后来缺的是结构；再后来我才发现，决定学习上限的，是能不能一直提出下一个值得回答的问题。
这一系列片段，就是我对 Notara 的愿景：一个由大模型驱动的笔记本和助教。它的很多设计，都能在这些经历里找到来处。这只是我作为学生的一家之言，之后我还会补上作为老师的那一半：我是怎样为我的学生找到最合适的学习路线的。